О новом представлении распределения разности фаз

При анализе эффективности радиотехнических систем часто используется распределение разности фаз g [1], где R – модуль коэффициента корреляции, y = R cos(g – g₀), g₀– начальная разность фаз.

В работе [2] получено распределение оценки максимального правдоподобия аргумента коэффициента корреляции из распределения Уишарта(2), где R – модуль коэффициента корреляции, g – оценка максимального правдоподобия аргумента коэффициента корреляции, g₀ – начальное значение аргумента, N – число выборок наблюдения, Г ( ) – гамма функция.

Это распределение в [2] использовано при анализе эффективности адаптивных систем СДЦ.

При исследовании формулы (2) если задать N=1, то получится выражение (3).

Расчёты, произведённые с помощью формул (1) и (3) показали полное совпадение графиков для этих двух разных представлений формул. На рис. 1 представлены графики плотностей распределений (1) чёрным и (3) красным цветами для значения коэффициента корреляции R=0,9 и g₀=0. И в том и другом случае наблюдается полное совпадение расчётных кривых. Такое же совпадение получается, если задать, например, g₀= p/4 (см. рис. 2).

Из плотностей распределений разности фаз (1) и (3) можно найти другие статистические характеристики для разности фаз. Например, проинтегрировав выражения (1) и (3) от – p до p, получим интегральный закон распределения
(см. рис. 3 для g₀ =0 и рис. 4 для g₀ =p/4).

Для верификации полученных результатов было проведено моделирование алгоритма формирования оценки разности фаз в системе MATLAB [5].

Алгоритм моделирования оценки максимального правдоподобия для аргумента межпериодного коэффициента корреляции такой [3]:

,

где Z₁и Z₂ – комплексные коррелированные выборки наблюдений. Тогда   оценка аргумента коэффициента корреляции может быть вычислена по следующей формуле:

.

Результаты моделирования на рис. 5 представлены синими кружочками. Они подтверждают совпадение моделирования и аналитических расчётов.

Таким образом, предложенный новый способ расчёта распределения разности фаз на основе распределения оценки максимального правдоподобия аргумента комплексного коэффициента корреляции всесторонне был проверен и может использоваться в статистических расчётах радиотехнических систем.

Литература

1. Левин Б. Р. Теория случайных процессов и её применение в радиотехнике. Советское радио 1960.
2. Бартенев В. Г. Применение распределения Уишарта для анализа эффективности адаптивных систем СДЦ. Радиотехника и электроника. 1981. Т. ХХVI. № 2. C. 356–361.
3. Бартенев В. Г. Новый способ классификации и бланкирования дискретных мешающих отражений. Современная электроника. 2020. № 3. C. 46–49.
4. Бартенев В. Г. Способ классификации и бланкирования дискретных помех. Патент № 2710894 по заявке № 2018134712 зарегистрирован в Государственном реестре РФ 14.01.2020.
5. Бартенев В. Г. Модельно­ориентированное проектирование программируемых радиотехнических устройств. Практический курс. Горячая линия. Телеком. М. 2019. C. 48–64.