При анализе эффективности радиотехнических систем, в которых используется оценка максимального правдоподобия модуля коэффициента корреляции, может возникнуть необходимость применять распределение этой оценки, например для анализа эффективности адаптивных обнаружителей [1] или систем классификации типов целей [2].
В работе [3] получено распределение такой оценки из распределения Уишарта, представленное в виде бесконечного ряда (см. формулу 1), где R – модуль коэффициента корреляции, Rˆ – его оценка максимального правдоподобия, N – число выборок наблюдения, Г – гаммафункция.
К сожалению, сходимость ряда в (1) ухудшается по мере приближения истинного значения модуля коэффициента корреляции R и его оценки Rˆ к единице, что вынуждает применять рекуррентные схемы вычисления членов ряда и использования их большого числа. В частности, для расчёта плотности распределения (1) удобно пользоваться следующим рекуррентным соотношением (см. формулу 2), где
На рисунке 1 показаны результаты расчёта плотности распределения (1) при R=0,8 и R=0,95 N=4 с рекуррентной формулой (2) и без неё для бесконечного ряда.
Число членов ряда для рекуррентной формулы составляло 1500, без рекуррентной формулы максимально возможное – 60. Из графиков следует, что до R<0,8 можно напрямую пользоваться формулой (1). Ограничение на использование формулы (1) без рекуррентного расчёта приводит к увеличению k членов рекуррентного ряда. Тем не менее попытка получить распределение (1) в виде конечной суммы была предпринята.
Поскольку (RˆR)2k <1, если проанализировать бесконечный ряд в выражении для плотности распределения оценки модуля коэффициента корреляции (1), то сумму бесконечного ряда можно рассматривать как убывающую геометрическую прогрессию. Это позволяет после небольших преобразований получить новое выражение для плотности распределения с конечной суммой ряда (см. формулу 3).
Естественно, возникает вопрос, насколько совпадают расчёты по формуле с бесконечным рядом (1) и по полученной формуле с конечным рядом (3).
На рисунке 2 представлены графики плотности распределения для двух значений исходных коэффициентов корреляции R=0 и R=0,95 для N=4. Нетрудно увидеть, что графики полностью совпадают. Расчёт плотности распределения по формуле (1) производился по рекуррентной схеме и потребовал 1500 членов ряда.
Теперь попробуем применить полученную формулу (3) для оценки эффективности классификации дискретных мешающих отражений по межчастотному корреляционному признаку. Такой способ описан в статье [4]. Принцип классификации целей по межчастотному коэффициенту корреляции или, лучше сказать, по их продольному размеру заключается в следующем.
Для того чтобы различить класс летательных аппаратов с малым продольным размером (с высоким межчастотным коэффициентом корреляции) от класса дискретных мешающих объектов, имеющих значительно большие размеры (межчастотный коэффициент корреляции близок к нулю), достаточно выбрать соответствующий разнос несущих частот. И тогда, сравнивая оценку межчастотного коэффициента корреляции с порогом, при его непревышении сформировать корреляционный признак отражённого сигнала, принадлежащего к сигналам целеподобных мешающих отражений, которые могут быть бланкированы. Для формирования оценки межчастотного коэффициента корреляции лучше всего применить оценку максимального правдоподобия модуля коэффициента корреляции, плотность распределения которой описывается формулами (1) или (3). Алгоритм оценки максимального правдоподобия для модуля межчастотного коэффициента корреляции следующий [5]:
где Z1i и Z2i – комплексные выборки наблюдений на первой и второй несущей частоте. Тогда оценка межчастотного коэффициента корреляции может быть вычислена по формуле:
Таким образом, задача заключается в том, чтобы проинтегрировать выражение (3) от нуля до RПОР=0 и для R=0 получить вероятность правильной классификации целеподобных мешающих отражений, а для R=0,7 – вероятность ошибочной классификации (например, если самолёт классифицируется как мешающее отражение).
На рисунке 3 приведены вероятности правильной и ошибочной классификации для N=4. Уже при N>8 для порога, равного 0,5, получается вероятность правильной классификации больше 0,9 при вероятности ошибочной классификации меньше 0,1.
Для верификации полученных результатов было проведено моделирование данного классификатора в системе MATLAB [6]. Результаты моделирования на рисунке 3 представлены точками. Они подтверждают совпадение моделирования, аналитические расчёты и, главное, корректность формулы (3).
Литература
- Бартенев В. Г. Квазиоптимальные адаптивные алгоритмы обнаружения сигналов. Современная электроника. 2011. № 2. C.70–73.
- Бартенев В. Г. Радиолокационные отражения от ясного неба вынуждают улучшать параметры РЛС. Современная электроника. 2014. № 7. C. 18–20.
- Бартенев В. Г. Применение распределения Уишарта для анализа эффективности адаптивных систем СДЦ. Радиотехника и электроника. 1981. Т. ХХVI. № 2. C. 356–361.
- Бартенев В. Г. Новый способ классификации и бланкирования дискретных мешающих отражений. Современная электроника. 2020. № 3. C. 46–49.
- Бартенев В. Г. Способ классификации и бланкирования дискретных помех. Патент № 2710894 по заявке № 2018134712 зарегистрирован в Государственном реестре РФ 14.01.2020.
- Бартенев В. Г. Модельноориентированное проектирование программируемых радиотехнических устройств. Практический курс. Горячая линия. Телеком. М. 2019. C. 48–64.
Если вам понравился материал, кликните значок — вы поможете нам узнать, каким статьям и новостям следует отдавать предпочтение. Если вы хотите обсудить материал —не стесняйтесь оставлять свои комментарии : возможно, они будут полезны другим нашим читателям!
