Современная электроника №6/2025

ПРОЕКТИРОВАНИЕ И МОДЕЛИРОВАНИЕ 16 WWW.CTA.RU СОВРЕМЕННАЯ ЭЛЕКТРОНИКА • № 6 / 2025 (44) В работе [17] аналитически установ- лен результат преобразования Гиль- берта такого класса функций: (45) где [ ] – обозначение оператора, выде- ляющего целое число дробного аргу- мента. Из выражений (44) и (45) следует, что фазовое слагаемое вносит лишь периодические скачки в фазу коэффи- циента : (46) Итак, проведённый анализ случая, когда коэффициент имеет пери- одически расположенные корни на действительной оси, указывает на то, что эти корни не приводят к неодно- значности решения задачи установ- ления фазы по абсолютному значе- нию Количество C возможных решений задачи об установлении комплексной величины по её модулю мож- но определить непосредственно из свойств симметрии нулей функции . Для чётного значения N это количество равно , а для нечётного – . Обсуждение полученных результатов В качестве примера на рис. 3а при- ведём исходные данные для обратной задачи, которая решена чис- ленно. Соответствующая функция , продолженная аналити- чески на всю комплексную плоскость, имеет в полосе Π три пары (рис. 3б) недействительных симметричных отно- сительно мнимой оси нулей, а потому порождает 2 3 = 8 различных структур. Ниже (рис. 4) приводим четыре структуры; остальные четыре полу- чены из них изменением направле- ния z на противоположное. По известному абсолютному зна- чению коэффициента отраже- ния (рис. 5б) решена обратная задача рассеяния, которая включает уста- новление комплекснозначных функ- ций коэффициентов рассеяния и , а также определение пара- метров каждого из слоёв многослой- ной структуры. Поскольку решение такой задачи является не единствен- ным, для заданных исходных данных найдено множество решений (рис. 6). Среди этого множества будет тот, который соответствует оригиналь- ному (рис. 5а). Можно проверить, что диэлектрические структуры, форми- рующие множество решений обрат- ной задачи, будут иметь коэффици- ент отражения, идентичный тому, который представлен на рис. 5б. Это свидетельствует о правильности утверждений, положенных в осно- ву предложенного метода решения обратной задачи и обеспечения един- ственности её решения. Заключение Описанная процедура нахожде- ния многозначного решения обрат- ной задачи имеет опосредованную практическую ценность, поскольку не позволяет единым образом оха- рактеризовать исследуемую струк- туру по измеренным амплитудным характеристикам рассеяния или про- хождения электромагнитной волны. Поэтому важной проблемой являет- ся регуляризация этой задачи путём Рис. 5. Оригинальная функция диэлектрической проницаемости (а) и модуль коэффициента отражения (б), который использован как исходные данные для обратной задачи Рис. 6. Множество решений обратной задачи рассеяния, полученных по модулю коэффициента отражения в центре рисунка ε ( z ) z, m ω /(2 π ), Гц × 10 9 | L(ω) | 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 1 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 а) б)