Современная электроника №6/2025

ПРОЕКТИРОВАНИЕ И МОДЕЛИРОВАНИЕ 14 WWW.CTA.RU СОВРЕМЕННАЯ ЭЛЕКТРОНИКА • № 6 / 2025 Этот набег фазы можно установить из выражений (15) и (17), показав раз- личие между коэффициентами реше- ний Йоста и слоистой структуры и значениями коэффици- ентов , , которые опреде- лены путём пересчёта результатов измерений: (28) Из полученного выражения (28) видно, что коэффициенты решений Йоста и можно разло- жить в конечный ряд, в котором зна- чения аргументов комплексных экс- понент будут отличаться от значений в формулах (25) и (26) на величи- ну запаздывания за счёт про- хождения волной расстояния в сво- бодном пространстве: (29) (30) Отсюда можно определить, какой набег фазы присутствует в измерен- ных коэффициентах отражения и про- хождения: ; (31) . (32) Таким образом, можно утверж- дать, что импульсная характеристи- ка любой многослойной структуры без потерь состоит из бесконечной суммы δ-функций. Кроме того, рас- положение этих δ-функций на оси τ определяет линейная комбинация , где l и m являются про- извольными целыми числами. Для описания рассеяния электро- магнитных волн проведём замену исходных данных коэффициентами и в решениях Йоста (12) и (13). Для заданных комплекснознач- ных функций и параме- тры диэлектрической слоистой среды можно вычислить согласно рекур- рентной процедуре (17), осуществив предварительно оценку всех параме- тров конечных тригоно- метрических сумм: ; (33) (34) Поэтому сформулированная обрат- ная задача рассеяния сводится к опре- делению комплекснозначных функ- ций и по их абсолютным значениям. Последние непосредствен- но вычисляются по исходным дан- ным задачи – модулю частотной зави- симости коэффициента отражения , согласно тождествам и Из теории операторов известно, что спектральная задача (14) для опера- тора имеет непрерывный спектр на поло- жительной части действительной полуоси [93]. Из этого следует, что в верхней комплексной полупло- скости ω и на действительной оси функция не равна нулю. Кро- ме этого, свойство аналитичности в верхней полуплоскости даёт возмож- ность формулировать задачу рекон- струкции фазы этой функции по её модулю. Комплексное значение коэффици- ента можно восстановить по его абсолют- ному значению определяя аргумент комплексной экс- поненты по формуле (35) где коэффициенты и можно вычис- лить аналитически по коэффициен- там и ряда (33). Искомый комплексный коэффици- ент рассеивания можно опреде- лить по формуле (36) где коэффициент и нули функции определяются из коэф- фициентов и корней известного моду- ля , записанного в виде триго- нометрического полинома . (37) Здесь коэффициенты многочленов и соотносятся как где Значения , выбираем среди корней тригонометриче- ского полинома (36) таким образом, Рис. 3. Частотная зависимость абсолютного значения коэффициента, который описывается тригонометрическим полиномом с шестью периодическими сериями недействительных нулей (a), и распределение одной серии этих нулей в комплексной плоскости (б) f Hz × 10 0 2 0,2 0,4 0,6 0,8 1 4 6 8 10 а) б) |B(f)|