Введение
Доля цифровой фильтрации в современных системах цифровой обработки сигналов (ЦОС) может составлять до половины общего объёма цифровых вычислений. Являясь устройствами частотной селекции входного сигнала, цифровые фильтры обычно разрабатываются на основе требований к их частотным характеристикам. В общем виде комплексный частотный коэффициент передачи БИХ-фильтра стандартно можно записать как:
Таким образом, основными характеристиками фильтра в частотной области являются:
- амплитудно-частотная характеристика, как модуль коэффициента передачи H(ejω);
- фазочастотная характеристика, как аргумент коэффициента передачи jφ(ω);
- фазовая задержка, как прямая задержка фильтром гармонического сигнала τ3=−φ(ω)/ω;
- групповое время запаздывания τgr=−∂φ/∂ω;
- частотная дисперсия сигнала D=∂τgr/∂ω.
В частотной области, определяющей селективные свойства, современный цифровой фильтр должен обладать совокупностью перечисленных характеристик, поэтому актуальной является задача разработки методов синтеза цифровых фильтров с учётом всей совокупности требований. Такой синтез принято называть многофункциональным, в отличие от многокритериального синтеза – синтеза только по одной требуемой характеристике, когда частотная характеристика, задаваемая на k дискретных точках частотного диапазона, при постановке задачи синтеза уже приводит к многокритериальной задаче.
Важным фактором, определяющим быстродействие БИХ-фильтра, является, как известно, арифметика вычислений, используемая в алгоритме цифровой фильтрации. Обзор публикаций по методам аналитического расчёта рекурсивных фильтров показывает, что в настоящее время преобладает косвенное проектирование рекурсивных фильтров по аналоговому прототипу с применением метода билинейного преобразования [1–3], либо различных подходов, на нём базирующихся [4–6], при использовании в алгоритмах цифровой фильтрации вещественной арифметики вычислений. Это обстоятельство диктуется особенностями расчётного метода билинейного преобразования, когда проектное решение может быть получено только в приближении непрерывной математики, то есть в вещественном многомерном пространстве состояний En, считая все переменные состояния вещественными величинами, точность представления которых может быть сколь угодно большой. Существует несколько очевидных недостатков косвенного проектирования рекурсивных фильтров в вещественных числах билинейным преобразованием аналогового прототипа.
- Принципиальная невозможность многофункционального синтеза цифрового фильтра, так как никакие требования, кроме требований к АЧХ фильтра, выполнены быть не могут. Так в литературе, например, прямо указывается невозможность контроля либо удовлетворения требованиям по фазовым искажениям при расчёте рекурсивного фильтра по аналоговому прототипу. Поэтому и неудивительно, что рекурсивные фильтры высокого порядка, спроектированные методом билинейного преобразования или его модификациями в MATLAB, имеют нелинейность ФЧХ порядка сотен градусов, то есть практически непригодны для большинства приложений ЦОС.
- Практическая невозможность синтеза рекурсивного фильтра с произвольной формой частотной характеристики, так как проблема аппроксимации произвольной АЧХ является самостоятельной и весьма непростой задачей. Поэтому по аналоговому прототипу синтезируются лишь фильтры с типовой формой АЧХ (ФНЧ, ФВЧ, полосовой, заградительный), используя их аппроксимацию по Баттерворту, Чебышеву либо Кауэру. Необходимо помнить также, что этап аппроксимации АЧХ является, как известно, нелинейно-фазовой процедурой, что может приводить к резкому увеличению фазовых искажений.
- Нелинейные деформации частотной шкалы фильтра, прямое несовпадение фазовых и импульсных характеристик цифрового фильтра с его аналоговым прототипом.
- Вещественный формат представления данных вынуждает квантовать их значения, то есть переводить описание цифрового фильтра из непрерывного пространства состояний En в дискретное вещественное (квантованное) пространство Qn, используя известный алгоритм квантования данных. Однако процедура квантования данных приводит, как известно, к искажению частотных характеристик БИХ-фильтра, появлению шумов квантования, а также к необходимости масштабирования вещественных коэффициентов фильтра.
- Проектное решение в вещественном пространстве состояний никак не соответствует арифметике цифрового вычислителя, реализующего тот или иной алгоритм ЦОС, цифровой фильтрации, в частности. Ведь базовая арифметика любого цифрового вычислителя – это целочисленная арифметика, оперирующая только с целыми числами в двоичном их представлении (битами, байтами, словами) и позволяющая осуществлять вычисления за минимальное время при минимальных ресурсах оперативной памяти. И только отсутствие целочисленных алгоритмов ЦОС вынуждает переходить к вещественной или комплексной арифметике цифровых вычислений, требующих значительных ресурсов как по памяти, так и по тактовой частоте вычислителя с существенным усложнением его структуры (за счёт введения FPU-арифметических сопроцессоров и т.п.) и значительным увеличением энергопотребления. То есть БИХ-фильтр с вещественной арифметикой вычислений может быть реализован только на специализированных сигнальных процессорах, тогда как наиболее перспективная на сегодняшний день программируемая логика, а также и микропроцессорные контроллеры, требует принципиально целочисленных решений, целочисленной арифметики вычислений.
- Никакие дополнительные внешние условия, функциональные ограничения (например, масштабирования сигнала в каскадных структурах) при косвенном синтезе рекурсивного фильтра по аналоговому прототипу непосредственно не могут быть учтены.
Однако перечисленные отрицательные последствия представления данных в вещественном формате могут быть во многом устранены при переходе к математическому описанию БИХ-фильтра в приближении дискретной целочисленной математики. То есть при переходе к математическому описанию, соответствующему базовой физике цифрового фильтра как реального устройства. Цифровой фильтр как физическое устройство изначально является дискретной целочисленной системой, которую и необходимо описывать, моделировать в приближении дискретной целочисленной математики, считая любую переменную точкой многомерного дискретного целочисленного пространства состояний. Под пространством состояний в данном случае понимается, прежде всего, многомерное пространство In целочисленных параметров (коэффициентов фильтра), входных и выходных сигналов – целочисленных временных последовательностей, а также базовые целочисленные операции над данными в алгоритме цифровой фильтрации. Таким образом, в целочисленных цифровых фильтрах (ЦЦФ) все переменные состояния (коэффициенты фильтра и результаты промежуточных вычислений, итоговый отклик фильтра) являются целочисленными, как целочисленными являются и все внутренние операции в алгоритме цифровой фильтрации.
Моделирование рекурсивного целочисленного фильтра
Рекурсивные фильтры, являясь дискретными линейными системами с обратной связью, обладают значительно бóльшими селективными возможностями по сравнению с КИХ-фильтрами и позволяют реализовать требуемые частотные характеристики значительно меньшим порядком N фильтра. Что касается структуры построения, то в [7] приведено сравнение каскадных, параллельных, прямых и волновых структур построения цифровых БИХ-фильтров, и показано, что каскадная структура является наилучшей, поскольку:
- позволяет реализовывать ряд передаточных функций фильтра небольшим набором основных функциональных элементов (звеньев) низкого порядка;
- чувствительность характеристик к изменению параметров (коэффициентов) наименьшая при последовательной структуре построения фильтра;
- каскадная структура удобна в случае подстройки после синтеза, поскольку каждое звено фильтра изолировано друг от друга.
Поэтому в настоящее время построение рекурсивных фильтров в форме каскадного соединения звеньев второго порядка прямой или обращённой формы на практике используется наиболее часто.
Передаточная функция для рекурсивного ЦЦФ, состоящего из каскадного соединения m-звеньев второго порядка (m = N / 2), имеет следующий вид [8]:
где комплексная переменная z при переходе к описанию комплексной частотной характеристики:
принимает значение z=ejω, ω=2πf/fs – цифровая частота, а fs – частота дискретизации.
Все коэффициенты системной функции (1) являются целочисленными, а их интервал изменения (вариации) определяется заданной длиной битового слова (разрядностью) коэффициентов фильтра. Из соотношения (1) легко получается разностное уравнение для одного звена фильтра:
где xn, yn – входная и выходная целочисленные временные последовательности, a0 – масштабирующий множитель.
Как видно из (2), при вычислении отклика фильтра должна выполняться операция деления на целочисленный коэффициент a0, которая может быть реализована операцией сдвига при условии принадлежности каждого i–го коэффициента биномиальному целочисленному ряду:
где Wk – длина (разрядность) битового слова целочисленных коэффициентов фильтра.
На рисунке 1 приведена типичная структура звеньев рекурсивного целочисленного фильтра, соответствующая разностному уравнению (2).
Как видно, при вычислении отклика фильтра кроме традиционных операций сложения, умножения и задержки на такт присутствует операция сдвига на B = log2a0 бит, с помощью которой реализуется целочисленное деление на биномиальный коэффициент a0.
Можно отметить, что именно наличие итоговой операции сдвига в алгоритме расчёта отклика рекурсивного целочисленного звена нарушает коммутативность расчётной процедуры реализации нулей и полюсов его передаточной функции (1), что не позволяет, в свою очередь, реализовать целочисленное рекурсивное звено в канонической форме.
Как известно, БИХ-фильтр будет устойчив, если все полюсы pi передаточной функции лежат внутри единичного круга в z-плоскости:
Заметим, однако, что это стандартное условие является необходимым, но далеко не достаточным, так как устойчивость работы БИХ-фильтра, как системы с обратной связью, может быть нарушена появлением предельных циклов (Limit Cycle), когда вроде бы устойчивый по соотношению (4) фильтр начинает демонстрировать неустойчивое поведение. При этом предельные циклы типа Granular [9] возникают, когда при отсутствии сигнала на входе амплитуда выходного сигнала затухает, но из-за вычислительных погрешностей не доходит до нуля. На рисунке 2 в качестве примера проявления таких циклов представлены осциллограммы сигналов на выходе рекурсивных фильтров различного порядка при нулевом входе.
Переполняющие (Overflow) предельные циклы имеют место, когда амплитуда выходного сигнала не затухает, а возрастает, вызывая в итоге переполнение. Возможность возникновения предельных циклов возрастает с увеличением порядка рекурсивного фильтра и во многом определяется добротностью полюсов его передаточной функции. В настоящее время провести теоретический анализ, расчёт предельных циклов весьма непросто даже для БИХ-фильтров малого порядка. Поэтому действенной, а порой и единственной альтернативой, является практическая реализация синтезированного ЦЦФ на конкретной цифровой платформе (MCU, DSP или FPGA) и экспериментальный анализ амплитуды выходного сигнала фильтра при нулевом входе. Именно поэтому проектирование цифровых БИХ-фильтров высокого порядка (N > 20) не должно ограничиваться только теоретическим нахождением коэффициентов (как это обычно принято), но обязательно должна дополняться этапом реализации фильтра и практического исследования решения на возможное наличие предельных циклов. В том же случае, когда предельный цикл наблюдается, действенной мерой его устранения является проведение повторного синтеза фильтра под меньшую допустимую добротность его полюсов. А так как добротность полюсов пропорциональна их радиусу в z-плоскости, то достаточно задать меньшее значение допустимого радиуса полюсов передаточной функции и пересинтезировать фильтр. Попытки задания различных радиусов полюсов [10, 11] на стадии аналитического проектирования БИХ-фильтров малоэффективны из-за низкой адекватности и чрезмерных вычислительных затрат, тогда как поисковый синтез численными методами ЦНП позволяет это сделать без затруднений. Таким образом, совместное условие устойчивости проектируемого БИХ-фильтра с учётом отсутствия предельных циклов можно представить так:
где rmax – допустимый максимальный радиус полюсов передаточной функции фильтра в z-плоскости, при котором предельные циклы в системе отсутствуют.
Как показала практика, при синтезе с меньшим значением максимального радиуса практически всегда удаётся получить проектное решение без предельных циклов того или иного рода, хотя селективная способность фильтра при этом, естественно, снижается.
Что касается результатов, необходимых для расчёта отклика ЦЦФ промежуточных вычислений, то все они также являются целочисленными, и при заданной битовой разрядности квантования входного сигнала Wx достаточно выделить внутренний аккумуляторный регистр с разрядностью:
для хранения результата целочисленного умножения с накоплением, осуществляемого по алгоритму (2). Колебаний переполнения, то есть возникновения больших предельных циклов, вызванных переполнением разрядной сетки регистра-аккумулятора, при таком расчёте его разрядности практически никогда не возникает, особенно если учесть, что накопление результата целочисленного умножения в (2) осуществляется алгебраически, с учётом знака слагаемых, что существенно понижает разрядность результата.
Как известно, в каскадных формах построения БИХ-фильтров необходима процедура масштабирования сигнала, что позволяет каскадному фильтру работать в широком динамическом диапазоне входных сигналов. Однако в каскадных ЦЦФ расчёт такого масштабирования целочисленного звена гораздо легче осуществлять не применением Lр-нормы, а прямым введением требования обеспечения малого разброса коэффициентов передачи отдельных звеньев. Формально требование масштабирования усиления записывается двусторонними функциональными ограничениями (9) экстремальной задачи ЦНП-синтеза.
Дискретный синтез рекурсивного целочисленного фильтра
Эффективный многофункциональный синтез, то есть синтез целочисленного БИХ-фильтра, по совокупности требуемых характеристик в многомерном целочисленном пространстве в настоящее время возможен только поисковыми методами целочисленного нелинейного математического программирования [12, 13]. Математическое программирование – это инвариантная и эффективная методология решения формализованных задач (задач проектирования в частности), методология, максимально ориентированная на современные вычислительные системы. Общая идея математического программирования, как известно, состоит в привязке решения любой задачи к чёткому инвариантному математическому признаку – экстремуму функции качества (цели) F(X), где вектор X определяет искомый параметр устройства. Для любой проектной задачи такую функцию всегда можно сформировать, исходя из заданных требований к проектируемому устройству (в компьютерных пакетах синтеза целевую функцию обычно формирует функциональный редактор). Имея такую функцию, решение задачи синтеза сводится к процедуре минимизации F(X), то есть отысканию координат глобального экстремума (оптимальных параметров устройства X0), что обычно делается поисковыми методами [14, 15]. Идеология целочисленного нелинейного программирования (ЦНП) позволяет эффективно проектировать цифровые фильтры с заданной разрядностью представления данных (целочисленных коэффициентов) при максимальном выполнении требований к частотным характеристикам фильтра. В общем виде задачу целочисленного нелинейного программирования при машинном синтезе рекурсивного ЦЦФ с заданной разрядностью представления данных можно записать так:
где m – число звеньев второго порядка, IX – вектор многомерного целочисленного пространства параметров (коэффициентов), F(IX) – целевая функция, Kimin, Kimax – допустимые границы изменения коэффициента усиления i-го звена.
Экстремальная задача синтеза (5) записана относительно целочисленного пространства I6m параметров (коэффициентов фильтра), размерностью 6m. Ограничения (6) задают границы изменения этих целочисленных коэффициентов, а соотношение (7) определяет принадлежность коэффициентов a0i биномиальному целочисленному ряду. Функциональные ограничения (8) контролируют в процессе синтеза условие устойчивости БИХ-фильтра по всем полюсам коэффициента передачи с радиусами, не выше rmax, а ограничения (9) масштабируют коэффициенты передачи звеньев в заданный интервал.
Многофункциональное задание целевой функции наиболее часто формируется в виде взвешенной суммы (10) частных целевых функций fi(IX), которые определяют выполнение функциональных требований по той или иной частотной характеристике фильтра:
Коэффициент bi задаёт значимость (вес) характеристики (i-го частотного окна). Сами частные целевые функции fi(IX) формирует функциональный редактор пакета синтеза, обычно по критерию минимума среднеквадратичного отклонения:
где Yn(IX) – текущее значение характеристики фильтра на n-ой дискретной частоте диапазона определения, а YnT – требуемое значение частотной характеристики.
Критерий максимальной ошибки:
используется значительно реже. Очень часто ради экономии времени расчёта в соотношении (11) корень не извлекают и работают по ненормированному квадратичному критерию:
.
Поисковое итеративное решение экстремальной задачи ЦНП (5) в заданном пространстве параметров осуществляет программный алгоритмический комплекс [15], обращаясь к модельному блоку программы для расчёта текущих функциональных характеристик фильтра. Вектор IX0, минимизирующий скалярную целевую функцию F(IX) на множестве допустимых целочисленных решений (6), является эффективным решением задачи параметрического синтеза рекурсивного ЦЦФ.
Поисковый комплекс дискретной минимизации
Как известно, характерным отличием поискового проектирования от классического аналитического решения является то, что определение эффективного решения экстремальной задачи (5) осуществляется не путём последовательного его расчёта по некоторым аналитическим правилам и формулам, а путём его выбора (поиска) на некотором конечном целочисленном множестве вариантов синтезируемого БИХ-фильтра, определяемом областью проектирования или областью поиска D ∈ In. Критерий выбора (цели) формализован целевой функцией F(IX), значение которой при поиске необходимо минимизировать. Для численного решения задачи (5) при проектировании рекурсивного ЦЦФ используется эффективный метод синтеза с поиском глобального экстремума на сетке кода Грея [15, 16]. Данный метод адаптирован к поиску решений в целочисленном пространстве параметров (коэффициентов фильтра), когда поисковый алгоритмический комплекс минимизации работает в режиме дискретного целочисленного представления многомерной области поиска D ∈ In.
При разработке данного поискового комплекса необходимо было выполнить следующие условия:
- разрешение системы нелинейных функциональных ограничений устойчивости (8) и масштабирования усиления каскадов фильтра (9) методом штрафных функций;
- разработка базового итеративного алгоритма целочисленной минимизации на детерминированной сетке кода Грея;
- разработка эффективных сценариев решения сложных проектных задач поискового синтеза целочисленных цифровых фильтров.
Базовый поисковый алгоритм комплекса относится к классу глобальных алгоритмов направленного сканирования на детерминированной сетке. Для преобразования массива дискретных целочисленных значений каждой i-й переменной в кодовое пространство используется код Грея, который позволяет осуществить неразрывное кодирование массива, то есть так, что каждая соседняя кодовая комбинация отличается не более, чем на один символ. Это позволяет организовать поиск на дискретной сетке при помощи так называемых сфер поиска. Каждая сфера представляет множество точек пространства поиска в виде узлов сетки, расположенных вокруг некоторой центральной точки (см. рис. 3). Данные сферы используются для поиска глобального экстремума по определённой стратегии.
Процесс поиска начинается со сферы C1 минимального радиуса r = 1 с центром O1, а затем происходит автоматическое увеличение радиуса r сферы поиска (сфера C2 на рис. 3а) с последующим автоматическим сужением радиуса до минимального (r = 1) с переносом центра в лучшую точку на сфере, на которой такая точка найдена (например, точка O3 на сфере C2). Для нулевого режима работы алгоритма минимизации характерны концентрические сферы поиска. Далее, в зависимости от профиля целевой функции, может продолжаться нулевой режим работы или осуществляться переход в первый режим. Как видно, для первого режима характерно неконцентрическое расширение сфер поиска при наличии на сферах точек лучше центра. Пусть сформирована сфера C3 радиуса r = 1 с центром О3 (см. рис. 3б). Если на сфере С3 нашлась точка О4 ∈ С3 с лучшим (меньшим) значением целевой функции, чем в О3, то центр поиска переносится из О3 в О4 и вокруг него формируется сфера С4 удвоенного радиуса 2r. При отсутствии на сфере С4 точки лучше, чем О4, осуществляется переход от сферы С4 к сфере С5 наименьшего радиуса с тем же центром О5 ≡ О4. Переход к нулевому режиму осуществляется в случае, если на сфере С5 наименьшего радиуса не нашлось лучшей точки. Таким образом, при последовательном автоматическом расширении и сужении этих специфических сфер поиска происходит направленное сканирование всей многомерной области поиска, без полного её перебора.
Данный алгоритм направленного сканирования на сетке кода Грея обладает совокупностью следующих свойств:
- является алгоритмом нулевого порядка;
- не имеет настраиваемых параметров;
- обладает работоспособностью в целочисленном пространстве большой размерности (до 500 переменных);
- имеет малые потери на поиск, обеспечивая существенное сокращение полного перебора (например, вместо 1019 вариантов – всего 104 вариантов при 16 переменных);
- имеет высокую надёжность поиска экстремума, которая составляет не менее 75% и малую чувствительность к характеру целевой функции. Для повышения надёжности может быть использована процедура поиска из нескольких дополнительных, сгенерированных самим поисковым алгоритмом, начальных точек.
Следует отметить, что, в отличие от классического аналитического расчёта БИХ-фильтра по аналоговому прототипу, поисковое его проектирование является, безусловно, интеллектуальным процессом, интеллектуальным проектированием. Множество сценариев решения сложной проектной задачи может быть предложено, много специфических приёмов и навыков может быть применено опытным проектировщиком-поисковиком для успешного решения сложной проектной задачи.
Типовым сценарием поискового проектирования каскадных ЦЦФ является сценарий в стиле динамического программирования, как последовательность поисковых задач с поэтапным повышением порядка проектируемого фильтра. На первом, стартовом этапе используют структуру низкого порядка (четвёртого или шестого, не выше). Естественно, выполнение совокупных требований таким фильтром будет низкое. На втором этапе уже данное решение используется в качестве исходного решения. Порядок фильтра при этом повышают путём дублирования найденных ранее коэффициентов звена (что в пакете синтеза может делаться автоматически). После нескольких подобных итераций и определяется итоговый порядок проектируемого фильтра, при котором погрешность выполнения сложных совокупных требований лежит в пределах заданного допуска.
Таким образом, рассмотренный комплекс целочисленной поисковой минимизации позволяет обеспечить высокую надёжность отделения глобального экстремума в весьма широкой области проектирования ЦЦФ практически из любой начальной точки. Эффективность применения метода синтеза с поиском глобального экстремума на сетке кода Грея подтверждается успешным решением сложных, многофункциональных задач проектирования целочисленных БИХ-фильтров [8, 17–19].
Заключение
Методы целочисленного нелинейного программирования в приложении к задачам проектирования линейных цифровых фильтров являются перспективной альтернативой традиционным методам проектирования цифровых фильтров [1–3, 9, 11]. Принципиальное отличие ЦНП-синтеза от аналитического расчёта состоит в применении современных численных методов машинного проектирования, позволяющих работать не с аналитическим, а с дискретно-табулированным представлением характеристик проектируемого фильтра, когда как исходные требуемые, так и текущие характеристики табулированы с заданной дискретностью их представления в частотной области и в вычислительной системе представлены двумерными массивами (векторами). Это даёт возможность, с одной стороны, без труда, применением численных методов, рассчитывать с заданной точностью все требуемые характеристики фильтра (включая ГВЗ и частотную дисперсию), а с другой стороны – применять для синтеза технического решения весьма эффективные поисковые методы дискретного программирования, позволяющие осуществлять проектирование цифровых БИХ-фильтров непосредственно в целочисленном пространстве состояний. Современные алгоритмические комплексы целочисленной минимизации позволяют решать такие проектные задачи надёжно и эффективно при выполнении всех внешних требований и ограничений к работе цифрового фильтра, что даёт возможность существенно повысить качество проектируемых фильтров.
Из материалов, приведённых в статье, видно, что, в сравнении с традиционными подходами, синтез цифровых фильтров методом целочисленного нелинейного программирования даёт ряд преимуществ.
Позволяет осуществлять синтез фильтра по совокупности требуемых его частотных характеристик при произвольной форме их задания и заданной частотной шкале (линейной, логарифмической и др.).
Устойчивость решения для целочисленных БИХ-фильтров гарантируется приоритетным выполнением функциональных условий устойчивости в процессе ЦНП-синтеза фильтра. При этом возможно задание требуемого максимального радиуса полюсов передаточной функции при синтезе, что позволяет эффективно управлять добротностью проектируемого фильтра в случае возникновения предельных циклов того или иного рода.
Глобальная модельная идеология поиска определяет высокую надёжность отыскания эффективного решения экстремальной задачи синтеза. Хорошего начального приближения (прототипа) здесь не требуется. Как правило, в проектных задачах со сложными селективными требованиями оптимальное решение определяется не из начальной точки, заданной пользователем, а из точки, сгенерированной самим поисковым алгоритмом решения задачи.
Необходимое масштабирование сигнала в каскадных структурах может быть обеспечено непосредственно в ходе ЦНП-синтеза целочисленного фильтра. Здесь нет необходимости использования косвенных приёмов масштабирования усиления применением, например, Lp-нормы.
Целочисленная дискретизация пространства параметров (коэффициентов) фильтра позволяет получать проектные решения в целых числах, что снимает все ограничения по арифметике вычислений при реализации фильтров на любых цифровых платформах (сигнальных процессорах, контроллерах, FPGA) с заданной разрядностью представления данных.
Литература
- Рабинер Л., Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов. М. Мир. 1978.
- Антонью А. Цифровые фильтры: анализ и проектирование. М. Радио и Связь. 1983.
- Каппелини В., Константинидис А. Дж., Эмилиани П. Цифровые фильтры и их применение. М. Энергоатомиздат. 1983.
- Мингазин А.Т. Синтез передаточных функций цифровых фильтров в области дискретных значений коэффициентов (обзор). Электронная техника. Сер. 10. 1993. №1,2.
- Dehner G. On the Design Cauer Filters with Coefficients of Limited Wordlength. 1975. V. 26. №4.
- Мингазин А.Т. Программа DIFID: эффективный синтез каскадных цифровых БИХ-фильтров. М. DSPA. 2002. T. 1.
- Demрster A.G., Macleod M.D. IIR Digital Filter Design Using Minimum Adder Multiplier Blocks. IEEE Trans on Circuits and Systems-II. 1998. V. 45. №6.
- Бугров В.Н. Проектирование цифровых фильтров методами целочисленного нелинейного программирования. Вестник ННГУ. 2009. №6.
- Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов. СПб. Питер. 2002. С. 608.
- Lang Mathias. Algorithms for the Constrained Design of Digital Filters with Arbitrary Magnitude and Phase Responses. Vienna. June. 1999.
- Айфичер Э., Джервис Б. Цифровая обработка сигналов: практический подход. М. Издательский дом «Вильяме». 2004.
- Мину М. Математическое программирование. Теория и алгоритмы. М. Наука. 1990.
- Корбут А.А., Финкельштейн Ю.Ю. Дискретное программирование. М. Наука. 1959.
- Батищев Д.И. Методы оптимального проектирования. М. Радио и связь. 1984.
- Воинов Б.С., Бугров В.Н., Воинов Б.Б. Информационные технологии и системы: поиск оптимальных, оригинальных и рациональных решений. М. Наука. 2007.
- Новиков Л.В. О поиске двоичного слова заданной длины, удовлетворяющего определённым требованиям. Некоторые вопросы проблемы ЭМС радиосистем. Изд. ГГУ. Горький. 1975. Вып. 3. С. 66.
- Бугров В.Н. Синтез целочисленных рекурсивных фильтров с произвольно заданными селективными требованиями. Цифровая обработка сигналов. 2016. №2.
- Бугров В.Н. Целочисленное проектирование гауссовых цифровых фильтров. Вестник ННГУ. 2012. №3.
- Морозов Н.С., Бугров В.Н. Синтез целочисленных цифровых КИХ-фильтров с линейной фазой. Цифровая обработка сигналов. 2016. №1.
Если вам понравился материал, кликните значок - вы поможете нам узнать, каким статьям и новостям следует отдавать предпочтение. Если вы хотите обсудить материал - не стесняйтесь оставлять свои комментарии : возможно, они будут полезны другим нашим читателям!