Современная электроника №3/2024

ВОПРОСЫ ТЕОРИИ 55 WWW.SOEL.RU СОВРЕМЕННАЯ ЭЛЕКТРОНИКА • № 3 / 2024 Поисковое проектирование минимально - фазовых цифровых фильтров Рассматриваются вопросы моделирования цифрового БИХ - фильтра в дискретном параметрическом пространстве . Проводится анализ систематических ошибок аналитического проектирования цифровых фильтров , оперирующих с фиксированной точкой . Приведена постановка задачи синтеза каскадного БИХ - фильтра поисковыми методами нелинейного математического программирования в дискретном пространстве параметров . Иллюстрируется эффективность применения данного подхода на примере целочисленного синтеза 8- битового рекурсивного минимально - фазового и линейно - фазового фильтра нижних частот . Проведено сравнение с решением аналогичных задач билинейным преобразованием аналогового прототипа в пакете MATLAB. Владимир Бугров Введение Интересной разновидностью цифро - вых фильтров являются так называе - мые минимально - фазовые цифровые фильтры , которые широко применя - ются во многих приложениях цифро - вой обработки сигналов . Как извест - но , в минимально - фазовом фильтре все нули коэффициента передачи не выходят за пределы единичной окруж - ности в z- плоскости , что , как правило , определяет меньший порядок фильтра и меньшее время обработки сигнала в сравнении с цифровыми линейно - фазовыми фильтрами . Для многих практических приложений это может иметь существенное значение . Условие минимальной фазы может быть реали - зовано как в цифровых фильтрах с бес - конечной импульсной характеристи - кой ( БИХ - фильтрах ), так и в фильтрах с конечной импульсной характеристи - кой ( КИХ - фильтрах ), однако рекурсив - ные фильтры , являясь дискретными линейными системами с обратной свя - зью , обладают значительно большими селективными возможностями в срав - нении с КИХ - фильтрами и позволяют реализовать требуемые характеристи - ки значительно меньшей разрядно - стью представления данных и мень - шим порядком фильтра . Как известно , классическая методо - логия проектирования БИХ - фильтров реального времени , в том числе и минимально - фазовых , содержит два основных этапа : аппроксимации и практической реализации фильтра . На этапе аппроксимации формиру - ется аналитическое представление заданной характеристики фильтра - прототипа тем или иным аппрок - симирующим полиномом , на базе которого в дальнейшем формируется передаточная функция проектируемо - го цифрового фильтра . Так , аппрокси - мация ФНЧ по Баттерворту ( рис . 1 а ) определяется так : . Таким образом , этапу аппрокси - мации свойственна систематическая ошибка , которую условно можно запи - сать так : . Ошибка аппроксимации весьма огра - ничивает возможность реализации характеристик сложной формы при - емлемым порядком аппроксимирую - щих полиномов . Поэтому аналитиче - ское проектирование БИХ - фильтров по аналоговому прототипу ограничи - вается , как известно , только набором типовых форм требуемых характери - стик ( ФНЧ , ФВЧ , ППФ , ПЗФ ), которые могут быть аппроксимированы с мини - мальной ошибкой . Основными задачами этапа практи - ческой реализации фильтра как дис - кретной системы реального времени является , прежде всего , выбор ариф - метики цифровых вычислений и при - емлемой длины слова коэффициентов фильтра для их реализации заданным числом двоичных разрядов . Наиболее часто для представления переменных в алгоритмах цифровой фильтрации используется вычисления в формате с фиксированной точкой M.N при M = 0 ( где M – целая часть , N – дробная часть числа ). В двоичном представлении фиксированная точка находится спра - ва от самого старшего бита , который является обычно и битом знака . То есть все коэффициенты цифрового филь - тра являются дробными веществен - ными числами , принадлежащими диапазону от –1 до 1–2 –( Wk –1) , где Wk – число битов , используемых для дво - ичного представления числа ( вклю - чая знак ). Однако заданным числом двоичных разрядов можно реализо - вать только дискретный ряд опреде - лённых значений коэффициентов на заданном единичном интервале . Так , 4- битовое представление в формате с фиксированной точкой ( ФТ ) определя - ет следующий ряд дискретных значе - ний коэффициентов : Wk : {–1; –0,875; –0,75; –0,625; –0,5; –0,375; –0,25; –0,125; 0; 0,125; 0,25; 0,375; 0,5; 0,625; 0,75; 0,875}. Для 5- битового представления добав - ляются промежуточные значения и так далее . Однако аналитический расчёт коэф - фициентов проектируемого БИХ - фильтра , например , билинейным пре - образованием аналогового прототипа в пакете MATLAB, осуществляется только в непрерывном вещественном пространстве , то есть коэффициенты фильтра определяются с неограничен - ной точностью на единичном интерва - ле их определения . Поэтому на стадии реализации проектируемого фильтра необходима процедура квантования вещественных его коэффициентов , которая в формате с ФТ осуществляется следующим образом : целочисленный код ( квант ) С int вещественного некван - тованного коэффициента |C| < 1,0 в варианте округления до ближайшего целого (round) равен целой части выра - жения в скобках : . Тогда вещественный квант С float данного коэффициента определяет - ся так : , а ошибка квантования составляет . Что касается промежуточных вычис - лений , то в формате ФТ представле - ние результата умножения веществен - ных чисел конечным числом разрядов (1) (2) (3)