ЖУРНАЛ СТА №3/2022

вать влияние на скорость гидравличе- ского параметра – расхода промывоч- ного раствора: где а – коэффициент буримости; α – показатель, влияющий на крутизну кривой; b – коэффициент, зависящий от расхода раствора. Модель фирмы «Теннеко ойл комп» [5, 6] связывает механическую скорость с нагрузкой на долото, частотой его вра- щения, учитывает типоразмер долота, параметры породы и промывочного раствора: где G 0 – критическая нагрузка на доло- то, обеспечивающая внедрение зубьев в породу; f ( h ) – функция, характеризую- щая состояние долота. Модель Галле-Вудса-Лубинского [5, 6] имеет дифференциальный вид, описы- вает мгновенное состояние процесса углубления скважины в любой момент времени, что задаётся трёхмерным век- тором в пространстве состояний с коор- = ⋅ − k (G G )n f(h) δ 0 α , υ M υ M = ⋅ + a n G b G 2 4 4 α 1 , динатами: мгновенные скорость υ м , из- нос зубьев и износ опоры долота. где β – показатель степени при осевой нагрузке; r – функция, зависящая от оборотов n и рассчитываемая отдельно для пород разной твёрдости; а ( D 3 ) – функции износа вооружения долота; D 3 – степень относительного износа вооружения долота; δ – показатель сте- пени для функции а ( D 3 ). Расчёты по этим моделям показали, что формы кривой υ м = f ( G ) для них имеют вид, приведённый на рис. 2. Анализ показывает, что модели с раз- личной степенью точности описывают работу долота только на участках I–III кривой М.Г. Бингхэма, максимума не имеют, поэтому для оптимизации не- пригодны. Как уравнение регрессии, кривая М.Г. Бингхэма может быть представ- лена фрагментом синусоиды, сдвину- той в первый квадрант координат- ной плоскости (рис. 3). Поэтому для оптимального управле- ния бурением разработана матема- тическая модель υ м = f ( G ) как при- dh dt k G r a D = ⋅ δ β δ [ ( )] 3 , ближающая функция в виде участка синусоиды, представленной рядом Маклорена. Ряд Маклорена для функции «синус» является бесконечным разложением и имеет вид: однако для математической модели механической скорости достаточно взять несколько первых членов ряда, количество которых обеспечивает тре- буемую степень аппроксимации моде- ли к реальным условиям бурения в скважине. На рис. 4 приведены графики ряда Маклорена, содержащие от двух до пя- ти членов ряда и график синусоиды, ко- торые показывают, что до экстремума все линии практически совпадают друг с другом, для кривой, построенной по двум первым членам ряда, максимум находится ниже и левее максимума си- нусоиды, у кривых для 3, 4, 5 членов и синусоиды экстремумы находятся в одной точке, но после него кривая для 3 членов идёт несколько выше, чем остальные кривые. Однако при экстремальном управле- нии приближение к точке максимума обычно происходит слева, поэтому до экстремума форма кривой должна точ- но описывать оптимизируемый про- цесс, а после максимума степень уменьшения функции не очень суще- ственна и может не строго соответство- вать процессу, поэтому для аппрокси- мации функции М.Г. Бингхэма доста- точно взять уравнение, состоящее из трёх членов ряда (чтобы не перегружать sin ! ! ! ! ! , x x x x x x x n n n n = − + − + −…= = − ( ) + ( ) = ∞ + ∑ 3 5 7 9 0 2 1 3 5 7 9 1 2 1 НОУ - ХАУ Рис. 2. Формы кривой υ м = f ( G ) для разных моделей Рис. 3. График фрагмента синусоиды, смещённой в I квадрант 25 20 15 10 5 0 1 3 5 7 9 1 3 5 7 9 1 3 5 7 9 2 4 6 8 10 25 20 15 10 5 0 25 20 15 10 5 0 14 16 12 10 8 6 4 2 0 мягкие твёрдые Модель ВНИИБТ Модель Погарского Модель Теннеко ойл комп Модель Галле-Вудса υ м υ м υ м υ м G G G G y X, рад 0 0,5 1,5 2,5 1,0 2,0 0 0,4 0,8 1,2 sin(x– π /2)+1 1,6 2,4 2,8 2,0 3,2 СТА 3/2022 53 www.cta.ru